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2019国际数学奥林匹克(IMO)竞赛题ICALC解题思路分享

管理员 新闻资讯 12个月前 651 ℃


 ICALC 2 days ago

IMO-2019.jpg

第60届国际数学奥林匹竞赛(IMO)于2019年6月21日在英国的巴斯(Bath)举行了闭幕式。中国队(6金, 总分227)和美国队(6金,总分227)并列获得了团体第1名。加拿大队(1金/1银/4铜,总分144)获得了团体第24名(加拿大队的历史最好成绩是在2012年曾取得团体第5名)。


国际数学竞赛(IMO)由6道题目组成, 每题7分, 满分42分。比赛分两日进行,每天参赛者需要在4.5小时内解决3道数学问题。通常每天的第1题(即第1, 4题)最简单, 第2题(即第2、5题中等难度, 第3题(即第3、6题最困难。一般来说,IMO题目的难度较大, 灵活性强。需要参赛者有正确的思维方式, 良好的数学素养, 扎实的基本功, 坚韧的毅力以及一定的创造性。


2019年IMO的试题由如下组成:第1题为函数方程题(本年度中比较容易的题); 第2题为平面几何题(中等难度); 第3题为图论题(最难的两道题之一); 第4题为数论题(比较容易的题); 第5题为组合数学(中等难度); 第6题为平面几何题(最难的两道题之一)。


下面我们以第一题为例,通过ICALC李老师的解答供大家赏析IMO的魅力。

2019 IMO 第1题:用ℤ表示全体整数构成的集合。求所有函数 f:  →  , 满足对任意整数 a 和 b,  都有 f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))


解: 

我们记下面函数方程为(*)

f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))              (*)

在(*)中,我们取 a=0,b=x,则(*)变为

f(0)+2f(x)=f(f(x))                   (1)

在(*)中, 我们取 b=0,   a=x,则(*)变为

f(2x)+2f(0)=f(f(x))                 (2)

其中 x 为任意的整数。

比较等式(1)和(2)的右边, 都为f(f(x))。所以它们的左边也一定相等, 也就是

f(2x)+2f(0)= f(0)+2f(x)          (3)

在等式(3)的两边同时减去2f(0),并记 c=f(0), 等式(3)化简为

f(2x)=2f(x)-c                            (4)


在等式(1)中, 取x=a+b, 则(1)变为

c+2f(a+b)=f(f(a+b))                (5)

比较 (*) 和 (5), 它们的右边一样,所以左边也相等,即

f(2a)+2f(b)= c+2f(a+b)           (6)

由等式(4), 我们知道 

f(2a)= 2f(a)-c

设F(x)=f(x)-c, 所以(6)化简为

F(a)+F(b)= F(a+b)                    (7)   

对任意的整数a,b都成立。所以F(x)是可加的(additive), 那么F(x)在上一定是齐次线性的,也就是说 

F(x)=kx,

其中 k=F(1)

所以

f(x)=kx+c                                  (8)         

把f(x)的表达式(8)带入(*), 我们化简得到

2k(a+b)+3c=k^2 (a+b)+(k+1)c                          

对任意的整数a,b都成立。

所以

2k=k^2, 3c=(k+1)c                (9)     

所以 k=0   或者 k=2

若 k=0, 则 c=0. 此时,对任意的 x, f(x)=0 . 

若 k=2, 则 c可为任意值。此时,对任意的 x,  f(x)=2x+c .

经验证,f(x)=0 和 f(x)=2x+c 都满足函数方程 (*). 所以,所有 f:  →  满足 (*)的函数为f(x)=0 和 f(x)=2x+c。

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